Расчет LC-фильтров

Комбинируя катушки индуктивности и конденсаторы, удается построить фильтры, во-первых, более высоких порядков (порядок фильтра, как правило, равен числу его реактивных элементов), т. е. имеющие более крутые скаты АЧХ в полосе задерживания, во-вторых, вносящие значительно меньшее затухание в полосе пропускания. В идеальном случае, когда катушки и конденсаторы не имеют потерь (их добротность бесконечна), LC-фильтры вообще не вносят потерь.

Самый простой LC-фильтр - колебательный контур. Включенный по приведенной на рис. 38 схеме, он будет действовать как узкополосный полосовой фильтр, настроенный на частоту

f0= 1/2π√LС.

На резонансной частоте сопротивление контура активно:

R0 = pQ.

где р - характеристическое сопротивление, равное реактивному сопротивлению катушки и конденсатора. Его удобнее подсчитать по формуле

р = √L/C.

Поскольку конденсатор, как правило, почти не вносит потерь, добротность контура равна добротности катушки. Проще определить резонансную частоту и добротность экспериментально, собрав каскад по приведенной выше схеме. Понадобятся генератор сигналов, создающий входное напряжение Uвх, и какой-либо измеритель выхода с высоким внутренним сопротивлением, лучше всего осциллограф. Он послужит для регистрации напряжения Uвых.

Изменяя частоту генератора, удастся зарегистрировать максимум Uвых на резонансной частоте контура f0. Резистор R1 и резонансное сопротивление контура r0 образуют делитель, и

Uвых = Uвх/(R1+r0).

Измерив напряжения на входе и выходе, теперь легко рассчитать резонансное сопротивление, а затем и добротность контура.

Другой способ измерения добротности состоит в измерении полосы пропускания контура 2Δf, где Δf есть отклонение частоты генератора, при котором Uвых падает до 0,7 от резонансного значения. Добротность связана с полосой пропускания простой формулой

Q = f0/2Δf.

При этом надо иметь в виду, что будет измерена не собственная (конструктивная) добротность контура Q0, а несколько меньшая величина - добротность контура, зашунтированного резистором R1. Поэтому сопротивление резистора в этом эксперименте следует выбирать как можно больше. Часто резистор заменяют конденсатором малой емкости, практически бывает достаточно поднести щуп генератора к верхнему (по схеме) выводу контура.

Входное сопротивление осциллографа, или другого прибора, подключенного к контуру, также не бесконечно большое, и, конечно, оно уменьшает его добротность. Методика расчета "нагруженной" добротности проста: надо найти новое резонансное сопротивление, образованное параллельным соединением R1 и R0, после чего разделить его на р. Затем аналогично учитывается и сопротивление R2, подключенное к выходу.

Одноконтурный полосовой фильтр - весьма несовершенное устройство. Если мы хотим использовать свойства контура полностью, т. е. получить острую резонансную кривую, соответствующую конструктивной добротности, то контур надо нагружать слабо выбирая R1 и R2 намного больше R0. Тогда коэффициент передачи мощности получается малым, что означает большие потери в полосе пропускания. Если же нагрузить контур сильно, выбрав R1 = R2 << R0, то коэффициент передачи стремится к максимально возможному (-6 дБ), но зато контур практически полностью теряет свои резонансные свойства. Тем не менее одиночный контур часто используют на входе радиоприемников или в резонансных усилителях из-за его простоты.

Коэффициент передачи напряжения увеличивается, если хотя бы R2 можно сделать большим (например, подключив контур к затвору полевого транзистора, служащего для дальнейшего усиления сигнала). Остается согласовать контур со стороны входа (например, с 75-омным фидером антенны). Используют автотрансформаторную связь (рис. 39) или емкостный делитель (рис. 40).

В первом случае

R1 = R0(n1/n0)2,

где n1 - число витков от "земли" до отвода: n0 - общее число витков катушки (связь частей катушки полагается сильной) Во втором случае

R1 = R0C12/(C1 +С2)2.

Если R2 не бесконечно, то сначала надо учесть его, вычислив новое R0 (уменьшенное параллельным подключением R2), а потом уже рассчитывать согласование по входу. Параметры узкополосного полосового фильтра удается значительно улучшить, включая два, три и более контуров. Связь между ними может быть индуктивной или внешней емкостной. Коэффициент взаимоиндукции выбирается в Q раз меньше индуктивности катушек, а емкость конденсаторов связи - в Q раз меньше контурных емкостей, причем Q определяется из требуемой полосы пропускания фильтра. Если О намного меньше конструктивной добротности катушек, потери в фильтре получаются малыми. Вход и выход фильтра нагружаются резисторами R = рQ.

Сигнал в контур можно подать не только параллельным способом, как описано выше, но и последовательно, как на рис. 41. При этом, если необходимо получить острую резонансную кривую, сопротивление R2, как и прежде, надо выбирать возможно больше, a R1, напротив, возможно меньше. При малом внутреннем сопротивлении генератора такой контур имеет большой коэффициент передачи напряжения на резонансной частоте, в пределе равный Q. На самых низких частотах коэффициент передачи стремится не к нулю, как в уже рассмотренных фильтрах, а к единице.

Весьма интересен случай, если в фильтре по схеме рис. 41 сопротивления на входе и выходе выбрать равными характеристическому, т. е. R1 = R2 = р.

Получается согласованный ФНЧ, коэффициент передачи которого постоянен и равен 1/2 (-6 дБ) на всех частотах от нуля до резонансной частоты контура L1C1, а при дальнейшем повышении частоты уменьшается. Крутизна ската АЧХ составляет 12 дБ на октаву как и должно быть у фильтра второго порядка.

В полосе пропускания фильтра 0...f0 коэффициент передачи часто полагают равным единице, считая входным напряжением не ЭДС генератора, а напряжение между верхним по схеме выводом резистора R1 и общим проводом. Более того, резистором R1 может быть внутреннее сопротивление генератора. Генератор как бы "видит" сопротивление нагрузки R2 сквозь прозрачный в полосе пропускания фильтр и отдает максимальную мощность при R1 = R2.

Кстати сказать, большинство измерительных генераторов имеют стандартное внутреннее сопротивление 50 Ом, и шкала выходного напряжения проградуирована для случая их нагрузки также на 50 Ом. Если выход такого генератора ничем не нагружать, выходное напряжение будет вдвое больше, чем показывает шкала выходного аттеннюатора!

Для получения более крутых скатов АЧХ используют пару описанных Г-образных звеньев, соединяя их в соответствии с рис. 42, чтобы образовать Т-образное звено, или в соответствии с рис. 43 чтобы образовать П-образное звено. При этом получаются ФНЧ третьего порядка. Обычно предпочитают П-образные звенья, поскольку в них меньше трудоемких в изготовлении катушек индуктивности.

Возможно и дальнейшее "наращивание" порядка фильтров, Для примера на рис. 44 показано, как из двух П-образных звеньев составлен двухзвенный ФНЧ пятого порядка.

Он имеет весьма крутую АЧХ в полосе задерживания - 30 дБ на октаву. Ее удается сделать еще круче если параллельно катушкам подключить дополнительные конденсаторы небольшой емкости. На частотах образовавшихся резонансных контуров получаются две точки "бесконечного затухания", лежащие в полосе задерживания. В ряде случаев роль дополнительных конденсаторов может выполнять междувитковая емкость катушек.

ФВЧ конструируют подобным же образом, лишь катушки заменяются конденсаторами, а конденсаторы - катушками. Широкополосные полосовые фильтры получают каскадным соединением ФНЧ и ФВЧ, желательно с разделительным усилительным каскадом между ними.

Вопрос для самопроверки. Пользуясь формулами этой главы, выведите расчетные формулы для индуктивности и емкости Г-образного звена ФНЧ. Рассчитайте ФНЧ по рис. 44 для радиолюбительского гетеродинного приемника. Заданы частота среза фильтра 2,7 кГц и характеристическое сопротивление 1,6 кОм.

Нарисуйте схему фильтра с обозначением номиналов элементов и постройте его АЧХ в логарифмическом масштабе.

Ответ. Параметры согласованного Г-образного звена ФНЧ (рис. 41, 42) находятся из соотношения R = р, где R - сопротивление нагрузки фильтра; р - его характеристическое сопротивление, равное реактивному сопротивлению его элементов на частоте среза:

Получив эти формулы, уже не составляет большого труда рассчитать элементы двузвенного ФНЧ (рис. 44) гетеродинного приемника с учетом того, что индуктивности обеих катушек должны составить 2L, емкости крайних конденсаторов - С, емкость среднего конденсатора - 2С:

С = 1/6,28·2,7·103·1,6·103 = 0,037х10-6Ф = 0,037 мкФ, 2С = 0,074 мкФ.

При практическом изготовлении фильтра число витков катушки рассчитывают, пользуясь сведениями, изложенными в главе 5. В данном случае целесообразно использовать ферритовые кольца, обеспечивающие неплохую добротность катушки и мало подверженные наводкам от посторонних полей. Несколько хуже и в том, и в другом отношении магнитопроводы из Ш-образных стальных пластин, например, от трансформаторов, использовавшихся ранее в портативных транзисторных приемниках.

Для примера рассчитаем число витков катушки на ферритовом кольце К16x8x4 из феррита марки 2000НМ. Воспользуемся формулой L=μμ0N2/l. Подставив в нее значения μ = 2000, μ0 = 4π-10-7rH/M,S=16·10-6M2, l=38·10-3M, получаем L -10-6N2 или N - 103L Подставляя значение L = 0,19 Гн, получаем N = 430 витков. Надо заметить, что, вопреки распространенному мнению, подобные простые фильтры довольно-таки некритичны к разбросу параметров их элементов, во всяком случае отклонения на ± 5 % практически мало сказываются на форме АЧХ. С соответствующей точностью допустимо проводить и расчеты. Сопротивления источника и нагрузки фильтра еще менее критичны, и здесь допустимы отклонения до ± 25 %.

Автор: В.Поляков, г.Москва